В цилиндр вписана верная треугольная призма, диагональ боковой грани которой одинакова

   1. В равностороннем треугольнике ABC (http://bit.ly/2Jagd0Y) проведем медианы AM и BN, которые являются также вышиной:

• AN = 1/2 * AC = a/2.

   2. Медианы правильного треугольника пересекаются в центре описанной окружности и делятся в отношении 2 : 1:

• BO : NO = 2 : 1, отсюда:
• NO = 1/2 * BO = R/2;
• BN = BO + NO = R + R/2 = 3R/2.

   3. К прямоугольному треугольнику ABN применим теорему Пифагора:

• BN^2 + AN^2 = AB^2;
• (3R/2)^2 + (a/2)^2 = a^2;
• 9R^2 + a^2 = 4a^2;
• 3a^2 = 9R^2;
• a^2 = 3R^2;
• a = R3.

   4. К прямоугольному треугольнику A1AC опять применим аксиому Пифагора:

• H^2 + a^2 = L^2;
• H^2 = L^2 - a^2 = L^2 - (R3)^2 = L^2 - 3R^2;
• H^2 = (507)^2 - 3* 11^2 = 507 - 3 * 121 = 507 - 363 = 144;
• H = 144 = 12.

   Ответ: 12.