НА вечере находятся девять человек. Может ли так оказаться, что каждый

Представим, что это вероятно. Построим граф с вершинами, подходящими соучастникам вечера. Этот граф обладает 9 верхушками. Ступень каждой вершины равна 3. Ступень вершины графа количество рёбер графа, инцидентных верхушке.

Рёбра графа будут показывать знакомства. Количество рёбер при этих условиях равно 9 3 / 2 = 13,5;
Из каждой вершины выходит 3 ребра и эти рёбра мы посчитали два раза.
Мы получили не целое число рёбер, значит, таковой граф выстроить невозможно.
Ответ: Каждый из 9 человек не может быть знаком только с 3-мя соучастниками вечера.