В геометрической прогрессии с положительным знаменателем 3ий член равен 4ём, а

1. Предположим, что последовательность b_n (где n естественное число) является геометрической прогрессией. Сообразно условия задания, знаменатель (q) геометрической прогрессии больше чем 0. Не считая того, b₃ = 4 и  b₅ = 16.
2. Ясно, что, если знаменатель (q) некой геометрической прогрессии больше нуля, то b_n gt; 0 при всех естественных n. В противном случае, при любом, отличном от нуля, первом члене, получили бы знакочередующуюся геометрическую прогрессию.
3. Применим характеристическое свойство геометрической прогрессии (b_n)² = b_{n 1} * b_{n + 1} при n = 4.
4. Имеем: (b₄)² = b₃ * b₅ = 4 * 16, откуда (из-за b_n gt; 0 при всех естественных n) получим явное b₄ = 8.
5. Сейчас легко определим знаменатель q = b₄ : b₃ = 8 : 4 =2.
6. Сумму первых десяти членов данной геометрической прогрессии найдём используя формулу S_n = (b₁ * (1 qⁿ)) / (1 q), где n естественное число.
7. Имеем b₃ = b₁ * q², то есть 4 = b₁ * 2², откуда b₁ = 4 : 4 = 1.
8. Итак, S₁₀ = (b₁ * (1 q¹⁰)) / (1 q) = 1 * (1 2¹⁰) / (1 2) = 1023.

Ответ: S₁₀ = 1023.