Найти объем правильной четырехугольной пирамиды , если апофема образует с вышиной

Пусть ЕМРКН - верная четырехугольная пирамида (Е - верхушка, МРКН - основание). ЕС - апофема (С принадлежит МР). О - точка пересечения диагоналей основания. Угол СЕО равен 30.

Рассмотрим треугольник ЕОС: угол О = 90 (ЕО в правильной пирамиде является вышиной пирамиды), СО = 1/2 РК = 6 см, угол СЕО = 30.

Выразим тангенс угла СЕО: tgСЕО = СО/ЕО.

tg30 = 1/3.

1/3 = 6/ЕО; ЕО = 63 (см).

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

V = 1/3 * S_осн * h.

Вышину пирамиды мы отыскали: h = ЕО = 63 см.

Вычислим площадь основания: S_осн = 12 * 12 = 144 (см).

Отсюда обретаем объем пирамиды:

V = 1/3 * 144 * 63 = 2883 (см³).