Забава начинается с числа 1000. За ход разрешается вычесть из имеющегося

   1. Докажем с поддержкою математической индукции, что числа, кратные 3, являются проигрышными позициями, другие - выигрышными.

   2. Для этого число n  представим в виде:

• n - 1 = 3k + r;
• n = 3k + r + 1, где

• k = 0, 1, 2, ...;
• r = 0, 1, 2 - остаток от дробления числа n - 1 на 3.

   3. При k = 0 получим три значения для n: 1, 2, 3. Явно, что 3 - проигрышная, а 1 и 2 - выигрышные позиции.

   4. Представим, что для k = m gt; 0, правильно наше предположение, т. е. все числа в интервале от 1 до 3m + 3, которые делятся на 3, являются проигрышными, а другие - выигрышными позициями. Докажем, что при k = m + 1, из последующих 3-х чисел - 3m + 4, 3m + 5, 3m + 6, проигрышным является только число 3m + 6, кратное 3:

   a) n = 3m + 4. Отнимаем 1 и передаем проигрышное число n = 3m + 3 конкуренту;

   b) n = 3m + 5. Отнимаем 2 и передаем проигрышное число n = 3m + 3 конкуренту;

   c) n = 3m + 6 = 3(m + 2). Так как n делится на 3, то невероятно отнять степень двойки, и опять получить число, кратное 3. Как следует, 3m + 6 - проигрышная позиция, что и требовалось обосновать.

   5. Так как число 1000 не делится на 3, то при правильной забаве первый всегда выигрывает.

   Ответ: 1-ый выигрывает.