.сколько человек воспринимало роль в шашечном турнире,если знаменито, что сыграли друг

Пойдем от оборотного.

Для определения числа партий, раз каждый соучастник турнира сыграл с друг приятелем по разу, была бы применена  формула нахождения количества сочетаний: C(n,m) = n! / (n - m)!m!,
Определим количество соучастников турнира, подставив в формулу знаменитые значения:

n! / (n - 2)!2! = 210;

n(n - 1) = 420;

n2 - n  - 420 = 0;

D = 1 - 4*(-420) = 1681 = 41²;

n₁ = (1 + 41 ) / 2 = 21;

n₂ = (1 - 41) / 2 = -20 (не удовлетворяет условию).

Ответ: На шашечном турнире воспринимал роль 21 спортсмен.