На дощечке написано число 8 в 99 ступени. У него рассчитывается
На дощечке написано число 8 в 99 степени. У него рассчитывается сумма цифр, у полученного числа опять рассчитывается сумма цифр и так дальше, до тех пор, пока не получиться однозначное число. Что это за число?
Задать свой вопросОпределим функцию D(n), где n - естественное чисел и
D(n) = суммы цифр числа n.
Лемма:
Остатки от деления D(n) на 9 и n на 9 одинаковы, т.е. D(n) и n сравнимы по модулю 9.
Подтверждение:
Рассмотрим, к примеру, случай, когда n - трехзначное число. Для любого n подтверждение будет подобным. Достаточно увидеть, что 10^k = 9 * p + 1, где p = 1...1 (k единиц).
Если n = abc, n = 100 * a + 10 * b + c = 99 * a + 9 * b + (a + b + c) =
=9 * (11 * a + b) + (a + b + c) =9 * (11 * a + b) + D(n),
т.е. n = 9 * (11 * a + b) + D(n), что и требовалось доказать.
Явно, что применяя функцию D(n) поочередно к ее результату, мы получим:
d = D(D(D(.....D(n)))) остатки от дробленья d на 9 и n на 9 равны.
Осмотрим степени числа 8 и вычислим поочередно значения функции D:
8^1 := 8
8^2 := 64 := 6 + 4 := 10 := 1 + 0 := 1
8^3 := 512 := 5 + 1 + 2 := 8
8^4 := 4096 := 4 + 0 + 9 + 6 := 19 := 1 + 9 := 10 := 1 + 0 := 1.
Заметим, что при нечетных степенях получаем 8, а при четных 1.
Можно представить, что при четных степенях 8^(2*k) последовательное применение функции D дает 1, а при нечетных ступенях 8^(2*k + 1) последовательное применение функции D дает 8.
Докажем это свойство по индукции.
Пусть утверждение верно для 8^2k. Значит по лемме 8^2k и 1 дают схожи остатки при делении на 9. Значит 8^2k можно представить:
8^2k = 9 * m + 1. Умножим обе доли на 8. 8^(2k + 1) = 9 * 8 * m + 8. Остаток 8.
Также пусть утверждение правильно для 8^(2k + 1). Значит по лемме 8^(2k + 1) и 8 дают схожи остатки при разделении на 9. Означает 8^(2k + 1) можно представить:
8^(2k + 1) = 9 * m + 8. Умножим обе части на 8. 8^(2(k + 1)) = 9 * 8 * m + 64 =
=9 * (8 * m + 7) + 1. Остаток 1.
Как следует, в нашем случае 8^99 число 99 - нечетное и разыскиваемое число равно 8.
Ответ: 8.
-
Вопросы ответы
Статьи
Информатика
Статьи
Химия.
Русский язык.
Геометрия.
Физика.
Русский язык.
Химия.
Математика.
География.
Литература.
Разные вопросы.