(arctgx)^x производная

1. Нужно найти производную степенно-показательной функции у = (arctgx)^x.
2. Напомним, что степенно-показательная функция это функция, имеющая вид степенной функции y = u^v, у которой основание u и показатель ступени v являются некими функциями от переменной x: u = u(x); v = v(x). Эту функцию также нарекают показательно-степенной или трудной показательной функцией.
3. Производная степенно-показательной функции определяется по формуле: (u^v) = v * u^{v  1} * u + u^v * v * lnu.
4. Применим эту формулу для нашей функции у = (arctgx)^x, при этом учитываем, что у нас u = arctgx, а v = х.
5. По таблице производных элементарных функций, имеем (х) = 1 и (arctgx) = 1 / (1 + х²).
6. Таким образом, ((arctgx)^x) = х * (arctgx)^{x 1} * (arctgx) + (arctgx)^x * x * ln(arctgx) = х * (arctgx)^{x 1} * (1 / (1 + х²)) + (arctgx)^x * 1 * ln(arctgx) = (arctgx)^{x 1} * (х / (1 + х²) + (arctgx) * ln(arctgx)).

Ответ: ((arctgx)^x) = (arctgx)^{x 1} * (х / (1 + х²) + (arctgx) * ln(arctgx)).