дана бесконечная арифметическая прогрессия, первый член которой равен 2013, а разность

Пойдём от первого пт до заключительного.

А) Если коэффициент прогрессии равен 8 то, тысячный член прогрессии равен 2013 + 8 * 1000 = 10013.

Сумма цифр: 1 + 0 + 0 + 1 + 3 = 5.

Б) Теорема. Сумма цифр числа дает такой же остаток от деления на 9, что и само число.

Следствие. Последовательность, получившаяся в задании, состоит из остатков от дробления на 9 членов начальной прогрессии, в которой все нули изменены девятками.

Таким образом остаток от 2013/9 равен 6, следовательно, 1-ый член прогрессии 6

Остаток от 8/9 = 8 потому 2-ой член прогрессии равен остатку (6 + 8)/9 = 5, 3-ий (5 + 8)/9 = 4, 4-ый - 3, 5-ый - 2, 6-ой - 1, седьмой (1 + 8)/9 = 0 поэтому 9, восьмой- 8, девятый - 7, десятый опять 6

Итак, последовательность периодична с периодом 9. Сумма первых 9 членов одинакова 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 9 + 8 + 7 = 45

сумма первых 999 (111 * 9) членов одинакова 111 * 45 = 4995, а сумма 1000 членов равна сумме 999 членов + A₁(то есть 6) = 5001.

В) Так как 1010/9=112 , а остаток 1010/9 = 2 , то сумма всех попорядку идущих членов равна 112 * 45 + сумма следующих 2-ух членов. Для того, чтоб сумма была величайшей нужно, чтобы 9 и 8 попали в эту двойку.

Выходит 112 * 45 + 9 + 8 = 5057.