Найдите заключительную цифру 13^13

Чтоб узнать последнюю цифру числа 13^13 необходимо решить сопоставленье:

13^13 x (10), где за х обозначим заключительную цифру.

По теореме Эйлера число (у нас 13) в степени функции Эйлера от значения модуля (в нашем случае модуль равен 10) сравнимо с 1 по данному модулю.

Для начала посчитаем значение функции Эйлера для числа 10:

(10) = 10 * (1 - (1 : 2)) * (1 - (1 : 5)) = 4 

По свойству ступеней представим 13^13 как:

(13^4)^3 * 13

По свойству Эйлера получили, что 

13^4  1 (10)

Как следует, 

(13^4)^3 * 13 x (10)

1 * 13 x (10)

13  x (10)

3  x (10)

Ответ: заключительная цифра 13^13 есть 3.