Есть ли 5 разных естественных чисел таких, что сумма их оборотных

   1. Пусть:

      S(n1, n2, ... , nk) = 1/n1 + 1/n2 + ... + 1/nk.

   2. Предположим, естественные числа n1, n2, n3, n4 и n5 удовлетворяют условию:

      S = S(n1, n2, n3, n4, n5) = 1.

   3. Подберем значения для чисел:

• n1 = 2;
• S(n2, n3, n4, n5) = S(n1, n2, n3, n4, n5) - 1/n1 = 1 - 1/2 = 1/2;

• n2 = 4;
• S(n3, n4, n5) = S(n2, n3, n4, n5) - 1/n2 = 1/2 - 1/4 = 1/4;

• n3 = 8;
• S(n4, n5) = S(n3, n4, n5) - 1/n3 = 1/4 - 1/8 = 1/8;

• 1/n4 + 1/n5 = 1/8;
• 8(n4 + n5) = n4 * n5;
• 8n4 + 8n5 = n4 * n5;
• n4 * n5 - 8n5 = 8n4;
• n5(n4 - 8) = 8n4;
• n5 = 8n4/(n4 - 8) = (8n4 - 64 + 64)/(n4 - 8) = (8(n4 - 8) + 64)/(n4 - 8) = 8 + 64/(n4 - 8).

   n4 - 8 - делитель числа 64:

   1)

• n4 - 8 = 1;
  n5 = 8 + 64/(n4 - 8);
• n4 = 9;
  n5 = 72;
• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/9 + 1/72 = 1.

   2)

• n4 - 8 = 2;
  n5 = 8 + 64/(n4 - 8);
• n4 = 10;
  n5 = 40;
• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/10 + 1/40 = 1.

   3)

• n4 - 8 = 4;
  n5 = 8 + 64/(n4 - 8);
• n4 = 12;
  n5 = 24;
• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/12 + 1/24 = 1.

   4)

• n4 - 8 = 8;
  n5 = 8 + 64/(n4 - 8);
• n4 = 16;
  n5 = 16, схожие числа.

   5) При 16, 32 и 64 - будут прошлые решения. Иных естественных решений не существует (для избранных значений n1, n2 и n3).

   Ответ: 1 - существует.