отыскать производную y=ln arctg2x

Для вычисления производной функции у = ln (arctg (2 * x)), нужно поначалу применить формулу производной сложной функции, а потом формулу производной обычный функции. 

Получаем: 

y = ( ln (arctg (2 * x))) = 1/arctg (2 * x) * (arctg (2 * x)) =  1/arctg (2 * x) *  1/(1 + (2 * x)^2) * (2 * x) =  1/arctg (2 * x) *  1/(1 + 4 * x^2) * 2 * x = 1/arctg (2 * x) *  1/(1 + 4 * x^2) * 2 * 1 =  2/arctg (2 * x) * 1/(1 + 4 * x^2).  

Отсюда получаем производную функции y = 2/arctg (2 * x) * 1/(1 + 4 * x^2).