"Миша говорит:"Позавчера мне было 10 лет,а в последующем году мне исполнится

Миша говорит правду, если он делает это заявление первого января, его денек рождение приходится на 31 декабря и ему в этот момент 11 лет.

В этом случае позавчера, то есть 30 декабря Мише было 10 лет.

31 декабря прошлого года Мише исполнилось 11 лет, 12 лет ему исполнится 31 декабря текущего года, а 31 декабря последующего года ему будет 13 лет.

Ответ: да, Миша может говорить правду.