Периметр прямоугольника 24 см. Найдите сумму расстояний от случайной внутренней точки

Пусть АВСД - данный прямоугольник, точка О - случайная точка внутри прямоугольника.

Выразим периметр прямоугольника: 

Р(АВСД) = (АВ + ВС) * 2 = 24; АВ + ВС = 12.

Проведем четыре перпендикуляра от точки О до сторон прямоугольника:

ОЕ (Е принадлежит ВС), ОМ (М принадлежит СД), ОК (К принадлежит АД и ОР (Р принадлежит АВ).

Сумма расстояний от точки О до сторон прямоугольника будет одинакова:

ОЕ + ОК + ОМ + ОР.

Так как ОЕ и ОК - два перпендикуляра к параллельным сторонам, проведенные из одной точки, означает, Е и К лежат на одной прямой. Выходит, что ЕК параллельно ВС и ЕК = ОЕ + ОК = АВ.

Так как Р и М также являются двумя перпендикулярами в параллельным граням, то РМ = ОР + ОМ = ВС.

Как следует, ОЕ + ОК + ОР + ОМ = АВ + ВС = 12 (см).

Ответ: сумма расстояний от точки до прямой равно 12 см.