Есть ли такие прямоугольные треугольники, длины сторон которых являются целыми числами,

Чтоб стороны прямоугольных треугольников были целыми числами необходимы такие условия для сторон треугольника:  a = k * (m² n²); b = k * 2mn; c =  k * (m² + n²), где m и n обоюдно обыкновенные. Площадь прямоугольного треугольника S = a * b / 2 = k² * (m² n²) * mn. Периметр P = a + b + с =k * (m² n² + 2mn + m² + n²) = k * (2 m² + 2mn) = k * 2m(m + n). Решим уравнение: k² * (m² n²) * mn = k * 2m(m + n); k² * (m - n)(m + n) * mn = k * 2m(m + n); k * (m - n) * n = 2. Если n =  1, то m 1 = 1, m = 2, k = 2. Получим треугольник со гранями a = 2 * (2² 1²) = 6; b = 2 * 2 * 2 * 1 = 8; c =  2 * (2² + 1²) = 10; S = 6 * 8 / 2 = 24. P = 6 + 8 + 10 = 24.