sin ( arctg 2 + arctg 3 )

1. В задании дано тригонометрическое выражение sin(arctg2 + arctg3), которого обозначим через Т. Словесного требования в задании нет. Наверное, необходимо вычислить значение Т. Воспользуемся последующими формулами: arctgx = arcsin(x / (x² + 1)), где х (; +) и arctgx = arccos(1 / (x² + 1)), где х [0; +).
2. Имеем: arctg2 = arcsin(2 / (2² + 1)) = arcsin(2 / (5)) и arctg3 = arcsin(3 / (3² + 1)) = arcsin(3 / (10)). Аналогично, arctg2 = arccos(1 / (2² + 1)) = arccos(1 / (5)) и arctg3 = arccos(1 / (3² + 1)) = arccos(1 / (10)).
3. Сейчас применим формулу sin( + ) = sin * cos + cos * sin (синус суммы). Тогда, получим: Т = sin(arctg2 + arctg3) = sin(arctg2) * cos(arctg3) + cos(arctg2) * sin(arctg3) = sin(arcsin(2 / (5))) * cos(arccos(1 / (10))) + cos(arccos(1 / (5))) * sin(arcsin(3 / (10))).
4. Приведём явные и впрямую следующие формулы из определений арксинуса и арккосинуса: для а [1; 1] правосудны sin(arcsin(a)) = a и cos(arccos(a)) = a.
5. Имеем Т = (2 / (5)) * (1 / (10)) + (1 / (5)) * (3 / (10)) = (2 * 1) / ((5) * (10)) + (1 * 3) / ((5) * (10)) = (2 + 3) / ((5² * 2)) = (2) / 2.

Ответ: (2) / 2.