(3x/(x^2+2x-1))-(6x/(x^2+3x-1))=5x/(x^2+4x-1)

3x/(x + 2x - 1) - 6x/(x + 3x - 1) = 5x/(x + 4x - 1).

Приведем дроби в левой доли к общему знаменателю:

(3x(x + 3x - 1) - 6x(x + 2x - 1))/(x + 2x - 1)(x + 3x - 1) = 5x/(x + 4x - 1).

(3x³ + 9x - 3x - 6x³ - 12x + 6x)/(x + 2x - 1)(x + 3x - 1) = 5x/(x + 4x - 1).

(-3x³ - 3x + 3x)/(x + 2x - 1)(x + 3x - 1) = 5x/(x + 4x - 1).

Вынесем -3х в числителе на скобку:

(-3x(х + х - 1))/(x + 2x - 1)(x + 3x - 1) = 5x/(x + 4x - 1).

По правилу пропорции:

5х(x + 2x - 1)(x + 3x - 1) = -3x(х + х - 1)(x + 4x - 1).

5х(x + 2x - 1)(x + 3x - 1) + 3x(х + х - 1)(x + 4x - 1) = 0.

Вынесем х за скобку:

х(5(x + 2x - 1)(x + 3x - 1) + 3(х + х - 1)(x + 4x - 1)) = 0.

Отсюда х = 0 или 5(x + 2x - 1)(x + 3x - 1) + 3(х + х - 1)(x + 4x - 1) = 0.

Вынесем по одному х из каждой скобки:

5x(х + 2 - 1/х)(x + 3 - 1/х) + 3х(х + 1 - 1/х)(x + 4 - 1/х) = 0.

Вынесем х:

x(5(х + 2 - 1/х)(x + 3 - 1/х) + 3(х + 1 - 1/х)(x + 4 - 1/х)) = 0.

Отсюда x = 0 или 5(х + 2 - 1/х)(x + 3 - 1/х) + 3(х + 1 - 1/х)(x + 4 - 1/х) = 0.

Введем новейшую переменную, пусть х - 1/х = а.

5(а + 2)(а + 3) + 3(а + 1)(а + 4) = 0.

5(а + 5а + 6) + 3(а + 5а + 4) = 0.

5а + 25а + 30 + 3а + 15а + 12 = 0.

8а + 40а + 42 = 0.

Разделяем на 2:

4а + 20а + 21 = 0.

D = 400 - 336 = 64 (D = 8);

а₁ = (-20 - 8)/8 = -3,5.

а₂ = (-20 + 8)/8 = -1,5.

Возвращаемся к подмене х - 1/х = а.

1) а = -3,5; х - 1/х = -3,5; х - 1/х + 3,5 = 0.

Умножаем на 2х.

2х + 7х - 2 = 0.

D = 49 + 16 = 65 (D = 65);

х = (-7 65)/4.

2) а = -1,5; х - 1/х = -1,5; х - 1/х + 1,5 = 0.

Умножаем на 2х.

2х + 3х - 2 = 0.

D = 9 + 16 = 25 (D = 5);

х₁ = (-3 - 5)/4 = -2.

х₂ = (-3 + 5)/4 = 0,5.

Ответ: корешки уравнения одинаковы 0, -2, 0,5 и (-7 65)/4.