Вычислите сумму 2^x+2^-x, если 4^x+4^-x=23

Очевидно, что обе суммы связаны меж собой - слагаемые левой части знаменитого равенства являются квадратами слагаемых, сумму которых нужно отыскать.

4^x + 4^(-x) = 23;

Представим каждое из слагаемых левой доли в виде квадратов чисел благодаря свойству "ступени ступени":

(2^x)^2 + (2^(-x))^2 = 23;

Найдем значение 2^x * 2^(-x):

2^x * 2^(-x) = 2^(x - x) = 2^0 = 1;

Сформируем квадрат суммы  чисел в левой доли:

2^x + 2^(-x) + 2 * 1 - 2 = 23;

(2^x + 2^(-x))^2 - 2 = 23;

(2^x + 2^(-x))^2 = 25;

2^x + 2^(-x) = 5.

Значение -5 не берем - сумма ступеней двойки не может приравниваться отрицательному числу.