На каждом километре шоссе меж сёлами Ёлкино и Палкино стоит столб

Если бы сумма чисел была бы равна 13, то понятно было бы, что меж поселками 13 км. Однако 13ти одинакова сумма цифр с обеих сторон таблички.

На нулевом километре числа тоже обязаны в сумме давать 13. Такую сумму могут давать пары чисел: 4 и 9, 5 и 8, 6 и 7. Но все числа, интеллигентные перечисленными парами отпадают, не считая 49, так как при большем километраже на 49 км на обратной стороне будет число больше нуля и сумма цифр на табличках окажется более 13.

При убавлении с одной стороны таблички числа на 1 км, на иной стороне таблички этот 1 км добавляется, при переходе через 10-ки на одной стороне слагаемым в доли единиц будет 0, на 2-ой стороне в единицах будет 9, а в сумме десятки всегда дадут 4. Проверим суммы цифр при переходе через 10-ки:

49 и 0, сумма цифр 4 + 9 + 0 = 13;

48 и 1, сумма цифр 4 + 8 + 1 = 13;

...  

40 и 9, сумма цифр 4 + 0 + 9 = 13;

39 и 10, сумма цифр 3 + 9 + 1 = 13;

38 и 11, сумма цифр 3 + 8 + 1 + 1 = 13;

 ... 

30 и 19, сумма цифр 3 + 0 + 1 + 9 = 13;

29 и 20, сумма цифр 2 + 9 + 2 + 0 = 13;

28 и 21, сумма цифр 2 + 8 + 2 + 1 = 13;

... 

20 и 29, сумма цифр 2 + 0 + 2 + 9 = 13;

19 и 30, сумма цифр 1 + 9 + 3 + 0 = 13;

... 

10 и 39, сумма цифр 1 + 0 + 3 + 9 = 13;

9 и 40, сумма цифр 9 + 4 + 0 = 13;

... 

1 и 48, сумма цифр 1 + 4 + 8 = 13;

0 и 49, сумма цифр 0 + 4 + 9 = 13.

Ответ: меж Елкино и Палкино 49 км.