Обоснуйте что сумма трех поочередных естественных ступеней числа 4 кратна84

Нам требуется обосновать, что при любом естественном n gt;= 1 выражение

S(n) = 4^n + 4^(n + 1) + 4^(n + 2) делится на 84.

Метод 1.

Проведем подтверждение по индукции:

S(1) = 4 + 16 + 64 = 84 делится на 84.

Пусть утверждение верно при n. Тогда S(n) можно записать:

S(n) = 84 * k, где k - естественное число.

Докажем, что оно правильно и при n + 1.

S(n + 1) = 4^(n + 1) + 4^(n + 2) + 4^(n + 3) = 4 * (4^n + 4^(n + 1) + 4^(n + 2)) =

= 4 * S(n) = 84 * 4 * k. Следовательно, S(n + 1) делится на 84.

Метод 2.

S(n) = 4^n + 4^(n + 1) + 4^(n + 2) = 4^n * (1 + 4 + 16) = 4^n * 21 = 4^(n - 1) * 4 * 21=

= 84 * 4^(n - 1). Так как n gt;= 1, то S(n) делится на 84.