Обосновать 1/1*2+1/2*3+...1/n(n+1)=n/n+1=n/n+1

Нам нужно обосновать, что

S(n) = 1 / 1 * 2  + 1 /2 * 3 + ... + 1 /n * (n + 1) = n / (n + 1).

Проведем доказательство по индукции.

S(1) = 1 / 1 * 2 = 1/2 = 1 /(1 + 1) = 1/2.

Представим, что утверждение правильно

для хоть какого естественного к lt;=  n.

Тогда

S(n + 1) = 1 / 1 * 2  + 1 / 2 * 3 + ... + 1 / n * (n + 1) +

+ 1 / (n + 1) * (n + 2) = S(n) + 1 / (n + 1) * (n + 2) =

= n / (n + 1) + 1 / (n + 1) * (n + 2) =

= (n * (n + 2) + 1) / (n + 1) * (n + 2) =

= (n^2 + 2 * n + 1) / (n + 1) * (n + 2) =

= (n + 1)^2 / (n + 1) * (n + 2) = (n + 1) / (n + 2), что и требовалось доказать.