Доказать,что сумма всех поочередных естественных чисел делится на 7 без остатка.

Обозначим через n 1-ое, меньшее число из данной последовательности 7 поочередных натуральных чисел.

Тогда 2-ое, третье, четвертое, 5-ое, шестое и седьмое числа их этой последовательности будут одинаковы соответственно n +1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5 и n + 6.

Найдем, чему равна сумма этих 7 чисел:

n + n +1 + n + 2 + n + 3 + n + 4 + n + 5 + n + 6 = 7n + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 7n + 21 = 7 * (n + 3).

Так как эту сумму можно представить в виде произведения двух сомножителей, один из которых равен 7, то эта сумма делится на 7 без остатка при любом n.