Через точку М, принадлежащую биссектрисе угла с вершиной в точке О,

Для решения рассмотрим набросок (https://bit.ly/2z7D4r0).

Так как ровная АВ, по условию, перпендикулярна биссектрисе ОМ, то треугольники АОМ и ВОМ прямоугольные.

Угол АОМ = ВОМ, так как ОМ биссектриса угла АОВ.

Сторона ОМ у обоих треугольников общая.

Тогда треугольник АОМ = ВОМ по катету и прилежащему острому углу, по второму признаку равенства прямоугольных треугольников. Что и требовалось обосновать.