12+x-1-x=2 Решите уравнение

1. До этого всего, выясним область определения выражения, занимавшего левую часть данного уравнения. Оно является разностью 2-ух арифметических квадратных корней. Следовательно, обязаны производиться условия 12 + х 0 и 1 х 0, то есть х [12; 1].
2. Перепишем данное уравнение в виде: (12 + x) = (1 x) + 2. Возводим в квадрат обе части приобретенного уравнения. Заметим, что обе части этого равенства неотрицательны, следовательно, при возведении в квадрат побочные корешки не появятся. Имеем: ((12 + х))² = ((1 х) + 2)². Применим к правой доли заключительного уравнения формулу сокращенного умножения (a + b)² = a² + 2 * a * b + b² (квадрат суммы). Воспользуемся качествами арифметического квадратного корня. Тогда, имеем: 12 + х = ((1 х))² + 2 * (1 х) * 2 + 2² или 12 + х = 1 х + 4 * (1 х) + 4, откуда 7 + 2 * х = 4 * (1 х).
3. Возводим в квадрат обе доли приобретенного уравнения. На этот раз можно ожидать возникновение побочных корней. Имеем (7 + 2 * х)² = (4 * (1 х))² либо 7² + 2 * 7 * 2 * х + (2 * х)² = 4² * ((1 х))², откуда 49 + 28 * х + 4 * х² = 16 * (1 х). Это уравнение равносильно последующему квадратному уравнению: 4 * х² + 44 * х + 33 = 0.
4. Вычислим дискриминант D этого уравнения: D = 44² 4 * 4 * 33 = 1408. Так как D = 1408 gt; 0, то заключительнее квадратное уравнение имеет два различных корня. Вычислим их: х₁ = (44 (1408)) / (2 * 4) = 5,5 (22) и х₂ = (44 + (1408)) / (2 * 4) = 5,5 + (22). Поскольку оба корня квадратного уравнения принадлежат к множеству [12; 1], то, для того, чтобы избавиться от вероятных побочных корней, проверим их, подставляя каждого по отдельности, в данное уравнение.
5. А) При х = 5,5 (22), имеем (12 5,5 (22)) (1 + 5,5 + (22)) = (6,5 (22)) (6,5 + (22)) lt; 0, так как явно, что (6,5 (22)) lt; (6,5 + (22)). Следовательно, х = 5,5 (22) не может быть решением данного уравнения.
6. Б) При х = 5,5 + (22), имеем (12 5,5 + (22)) (1 + 5,5 (22)) = (6,5 + (22)) (6,5 (22)). Докажем, что (6,5 + (22)) (6,5 (22)) = 2 является тождеством. Имеем (6,5 + (22)) = (6,5 (22)) + 2. Обе части равенства положительны. Потому, возводя в квадрат, получим: 6,5 + (22) = 6,5 (22) + 2 * (6,5 (22)) * 2 + 4 или (22) 2 = 2 * (6,5 (22)). Обе доли равенства положительны. Ещё раз возводим в квадрат: 22 2 * (22) * 2 + 4  = 4 * (6,5 (22)) либо 26 4 * (22) = 26 4 * (22). Что и требовалось обосновать.

Ответ: х = 5,5 + (22).