3*4^x +2*9^x-5*6^xamp;lt;0

Преобразуем выражение:

3 * 4^x + 2 * 9^x - 5 * 6^x lt; 0.

3 * 4^x - 5 * 6^x + 2 * 9^x lt; 0.

3 * (2²)^x - 5 * (2 * 3)^x + 2 * (3²)^x lt; 0.

3 * (2^х)² - 5 * 2^х * 3^x + 2 * (3^х)² lt; 0.

Поделим неравенство на (3^х)²:

3 * ((2/3)^х)² - 5 * (2/3)^х + 2 lt; 0.

Введем новую переменную, пусть (2/3)^х = а.

3а - 5а + 2 lt; 0.

Найдем точки пересечения параболы у = 3а - 5а + 2 (ветви ввысь) в осью х:

3а - 5а + 2 = 0;

D = 25 - 24 = 1 (D = 1);

а₁ = (5 - 1)/6 = 2/3.

а₂ = (5 + 1)/6 = 1.

Так как символ неравенства lt; 0, решение неравенства: а принадлежит (2/3; 1).

То есть а gt; 2/3 и а lt; 1.

Возвращаемся к подмене (2/3)^х = а:

1) а gt; 2/3; (2/3)^х gt; 2/3; (2/3)^х gt; (2/3)¹; х lt; 1 (символ перевернулся, поэтому что основание ступени меньше единицы).

2) а lt; 1; (2/3)^х lt; 1; (2/3)^х lt; (2/3)⁰; х gt; 0.

Ответ: х принадлежит промежутку (0; 1).