1/cos^2+3 tgx -5=0 указать корешки, принадлежащие отрезку (-пи; пи\2)

1. Для того, чтобы решить уравнение 1 / cos²х + 3 * tgx 5 = 0 воспользуемся формулой 1 + tg² = 1 / cos². Имеем 1 + tg²x + 3 * tgx 5 = 0 либо tg²x + 3 * tgx 4 = 0.
2. Введём новейшую переменную у = tgx. Тогда получим квадратное уравнение у² + 3 * у 4 = 0, которое имеет два различных корня, так как его дискриминант D = 3² 4 * 1 * (4) = 9 + 16 = 25 gt; 0. Вычислим эти корешки у₁ = 4 и у₂ = 1.
3. Итак, необходимо исследовать два варианта: А) tgx = 4 и Б) tgx = 1.
4. А) tgx = 4. Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет последующее решение: х = arctg(4) + * n, где n целое число. Воспользуемся нечётностью арктангенса. Имеем х = arctg4 + * n. Сейчас необходимо из этой серии выделить решения, которые принадлежат промежутку (; /2). Так как у = arctgх возрастающая функция в (/2; /2), то из неравенства 3 lt; 4  следует, что arctg3 = /3 lt; arctg4 lt;  /2, откуда 1/3 lt; (arctg4) / lt; 1/2.
5. Имеем lt; arctg4 + * n lt; /2 либо arctg4 lt; * n lt; arctg4 + /2, откуда (arctg4) / 1 lt; n lt; (arctg4) / + 1/2. С учётом заключительного двойного неравенства из п. 4, имеем: 2/3 lt; n lt; 1. Очевидно, что это неравенство выполнится только при n = 0. Тогда имеем одно решение данного уравнения х = arctg4, принадлежащего отрезку (; /2).
6. Б) tgx = 1. Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет последующие две серии решений: х = /4 + 2 * * k, где k целое число; х = 5 * /4 + 2 * * m, где m целое число. Сейчас необходимо из этих серий выделить решения, которые принадлежат интервалу (; /2).
7. Исследуем первую серию. Имеем lt; /4 + 2 * * k lt; /2 или 5 * /4 lt; 2 * * k lt; /4, откуда 5/8 lt; k lt; 1/8. Очевидно, что это неравенство выполнится только при k = 0. Как следует, имеем ещё одно решение данного уравнения х = /4, принадлежащего отрезку (; /2).
8. Аналогично, исследуем вторую серию. Имеем lt; 5 * /4 + 2 * * m lt; /2 или 9 * /4 lt; 2 * * m lt; 3 * /4, откуда 9/8 lt; m lt; 3/8. Очевидно, что это неравенство выполнится только при m = 1. Как следует, имеем ещё одно решение данного уравнения х = 5 * /4 + 2 * * (1) = 3 * /4, принадлежащего отрезку (; /2).
9. Приобретенные три решения оформим в виде огромного количества: 3 * /4; arctg4; /4.

Ответ: х 3 * /4; arctg4; /4.