При каких значениях х и у выражение (х-2у+1)+ (х+2у-3)+5 имеет наименьшее

1. Возведем трехчлены в квадрат:

• f(x, y) = (х - 2у + 1)^2 + (х + 2у - 3)^2 + 5; 
• f(x, y) = x^2 + 4y^2 + 1 - 4xy + 2x - 4y + x^2 + 4y^2 + 9 + 4xy - 6x - 12y + 5; 
• f(x, y) = 2x^2 + 8y^2 + 15 - 4x - 16y. 

1. Сейчас выделим квадраты двучленов:

• f(x, y) = 2x^2 - 4x + 8y^2 - 16y + 15; 
• f(x, y) = 2(x^2 - 2x + 1) - 2 + 8(y^2 - 2y + 1) - 8 + 15; 
• f(x, y) = 2(x - 1)^2 + 8(y - 1)^2 + 5. 

1. Сумма квадратов неотрицательна и одинакова нулю при условии:

• x - 1 = 0; 
  y - 1 = 0; 
• x = 1; 
  y = 1. 

   Меньшее значение функции будет в точке (1; 1): 

      min(f) = f(1, 1) = 5. 

   Ответ: (1, 1).