У=9х-х3 изучить функцию

y = 9х - х³.

1) Область определения и область значений.

D(f) = R? х - хоть какое число.

E(f) = R, у любое число.

2) Нули функции. Найдем точки скрещения графика с осью х.

у = 0.

9х - х³ = 0;

х(9 - х) = 0

х(3 - х)(3 + х) = 0.

х = 0; х = 3; х = -3.

График функции пересекает ось х в точках -3, 0 и 3.

Найдем точку скрещения с осью у.

х = 0.

y = 9 * 0 - 0³ = 0 - 0 = 0

График пересекает ось у в точке 0.

3) Определим четность функции.

f(x) = 9х - х³.

f(- x) = 9 * (-х) - (-х)³ = -9х + х³ = -(9х - х³).

f(x) одинаково -f(- x), значит функция нечетная.

4) Определим промежутки знакопостоянства.

График функции пересекает ось х в точках -3, 0 и 3.

(-; -3) пусть х = -4; f(-4) = 9 * (-4) - (-4)³ = -27 + 64 = 37 (плюс).

(-3; 0) пусть х = -2; f(-2) = 9 * (-2) - (-2)³ = -18 + 8 = -10 (минус).

(0; 3) пусть х = 2; f(2) = 9 * 2 - 2³ = 18 - 8 = 10 (плюс).

(3; +) пусть х = 4;f(4) = 9 * 4 - 4³ = 27 - 64 = -37 (минус).

у gt; 0 на (-; -3) и (0; 3).

у lt; 0 на (-3; 0) и (3; +).

5) Промежутки возрастания и убывания функции.

Найдем производную функции.

f(x) = 9х - х³.

f(x) = 9 - 3х.

Приравняем производную к нулю.

f(x) = 0;

9 - 3х = 0.

3(3 - x) = 0.

х = 3 и х = -3.

Знаки промежутков: (-) -3 (+) 3 (1).

(-; -3) производная (-), функция убывает.

(-3; 3) производная (+), функция вырастает.

(3; +) производная (-), функция убывает.

Означает, точки -3 - это точка минимума, а 3 - это точка максимума.

Найдем экстремумы функции:

f(x) = 9х - х³.

х_min = -3; f(-3) = 9 * (-3) - (-3)³ = -93 + 33 = -63.

х_max = -3; f(3) = 93 - (3)³ = 93 - 33 = 63.