Докажите неравенство a^4+b^4amp;gt; a^3b+ab^3

Докажем неравенство:

a^4 + b^4 gt; a^3 * b + a * b^3.

Перенесем слагаемые из правой части неравенства в левую:

a^4 + b^4 - a^3 * b - a * b^3 gt; 0;

Выделим общий множитель у 2-ух пар слагаемых:

a^3 * (a - b) - b^3 * (a - b) gt; 0;

(a - b) * (a^3 - b^3) gt; 0;

Раскладываем разность кубов:

(a - b) * (a - b) * (a^2 + a * b + b^2) gt; 0;

(a - b)^2 * (a^2 + a * b + b^2) gt; 0;

В левой доли получили творение квадрата 1-го числа и квадратного трехчлена.

1-ый множитель всегда неотрицателен. 2-ой же множитель в собственном выражении имеет помимо суммы квадратов чисел еще и их произведение, которое в случае, если a и b будут 1-го знака, даст подтверждение неравенства.