Отыскать площадь грани АВС если А(1;2;1) В(-1;5;1) С(-1;2;7)

1. Для того, чтоб отыскать площадь S треугольника по координатам его вершин можно применить несколько способов. Обозначим разыскиваемую площадь грани АВС через S и воспользуемся формулой http://bit.ly/ZTopsh4032A1. Допустим, что P₁ = А(1; 2; 1), P₂ = В(-1; 5; 1) и P₃ = С(-1; 2; 7). Вычислим каждый определитель по отдельности, обозначая их соответственно через S₁, S₂ и S₃. Детали вычислений определителей S₁, S₂ и S₃ приведены тут: http://bit.ly/ZTopsh4032A2. Таким образом, имеем: S = * ((S₁) + (S₂) + (S₃)) = * (6 + (-12) + (18)) = * (36 + 144 + 324) = * (504) 11,225.
2. Альтернативой служит вычисление длин сторон треугольника и далее по формуле Герона. Применим формулу Герона S = (p * (p a) * (p b) * (p c)), где р = (a + b + c) / 2 полупериметр треугольника со сторонами a, b и c. Для нахождения длин сторон данной треугольной грани воспользуемся формулой d = ((х₂ х₁) + (у₂ у₁) + (z₂ z₁)) определения расстояния d меж двумя данными точками (х₁, у₁, z₁) и (х₂, у₂, z₂). Имеем: а = ВС = ((-1 (-1)) + (2 5) + (7 1)) = (45); b = AC = ((-1 1) + (2 2) + (7 1)) = (40), с = АВ = ((-1 1) + (5 2) + (1 1)) = (13) и р = * ((45) + (40) + (13)). Тогда, S = ( * ((45) + (40) + (13)) * * (-(45) + (40) + (13)) * * ((45) - (40) + (13)) * * ((45) + (40) - (13))) = * (((40) + (13)) - ((45))) * (((45)) - ((40) - (13)))) = * (4 * ((40 * 13) + 4) * ((40 * 13) - 4)) = * 2 * (520 16) = * (504) 11,225.

Ответ: * (504) 11,225 ед..