Найдите, при каких значениях параметра m трехчлен 2-ой степени (3-4m)x^2+3(m-1)x-2(m-1) представляет

Трехчлен 2-ой ступени может быть представлен как полный квадрат бинома,

если дискриминант трехчлена 2-ой ступени равен нулю. Докажем этот факт.

f(x) = a * x^2 + b * x + c = a * (x^2 + b / a * x + c / a) =

= a * (x^2 + 2 * b / (2 * a) * x + (b / (2 * a))^2 - (b / (2 * a))^2  +  c / a) =

= a * ( (x + b / (2 * a))^2 - ((b / (2 * a))^2 - c / a)).

Пусть d = (b / (2 * a))^2 - c / a = b^2 / 4 * a^2 - c / a = (b^2 - 4 * a * c) / 4 * a^2.

D = b^2 - 4 * a * c.

Если D lt; 0, то, явно, f(x) не может равняться нулю.

Если D gt;= 0, то

f(x) = a * ((x + b / (2 * a))^2 - D / (2 * a)^2) =

= a * (x + b / (2 * a) - D / 2 * a) * (x + b / (2 * a) + D / 2 * a).

Только при D = 0 f(x) может быть полным квадратом бинома.

В нашем случае:

D = (3 * (m - 1))^2 + 4 * (3 - 4 * m) * 2 * (m - 1) =

= 9 * (m - 1)^2 + 8 * (m - 1) * (3 - 4 * m) =

= (m - 1) * (9 * m - 9 + 24 - 32 * m) = (m - 1) * (15 - 23 * m) = 0.

Означает, D = 0 при m = 1 либо m = 15/23.

Ответ: 1 или 15/23.