Sin2xsin4xsin6x=1/4sin4x

Поначалу перенесем правую часть уравнения в левую сторону с обратным знаком.

Sin 2x * sin 4x * sin 6x 1/4 * sin 4x = 0.

Вынесем общий множитель за скобки.

Sin 4x * (sin 2x * sin 6x 1/4) = 0.

Данное равенство выполнимо, когда Sin 4x = 0 и sin 2x * sin 6x 1/4 = 0.

Решим 1-ое уравнение.

1) Sin 4x = 0

Пусть 4х = k, тогда sin k = 0.

Синус равен нулю при 0 при , 2 и т.д.

Можем записать так: sin k = 0 при k = *N, где N любые целые числа из огромного количества (-; +).

Тогда x = k/4 = *N/4.

2) Сейчас осмотрим 2е уравнение: sin 2x * sin 6x 1/4 = 0.

Воспользуемся формулой синуса суммы 2х углов.

sin 6x = sin (2x + 4x) = sin 2x * cos 4x + sin 4x * cos 2x.

Снова применим формулу синуса суммы 2х углов и косинуса суммы 2х углов.

sin 4x = sin (2x + 2x) = sin 2x * cos 2x + sin 2x * cos 2x = 2 * sin 2x * cos 2x.

cos 4x = cos 2x * cos 2x sin 2x * sin 2x = cos² 2x sin² 2x.

Подставим в уравнение и получим:

sin 2x *( sin 2x* (cos² 2x sin² 2x) + 2 * sin 2x * cos 2x * cos 2x) 1/4 = 0.

Вынесем за скобки общий множитель sin 2x.

sin² 2x * (cos² 2x sin² 2x + 2 * cos² 2x) 1/4 = 0.

sin² 2x * (3 * cos² 2x sin² 2x) 1/4 = 0.

Зная формулу sin² 2x + cos² 2x = 1, косинус через синус и получим: cos² 2x = 1 - sin² 2x.

sin² 2x * (3 * (1 - sin² 2x) - sin² 2x) 1/4 = 0.

sin² 2x * (3 4 * sin² 2x) 1/4 = 0.

Пусть sin² 2x = t.

t * ( 3 t) 1/4 = 0.

3t t² 1/4 = 0.

Решим уравнение.

t² + 3t 1/4 = 0.

Найдем дискриминант: D = 3² 4 * (-1) * (-1/4) = 9 1 = 8.

t₁ = (-3 + D) / (2 * (-1)) = (-3 + 22) / (-2) = 1.5 - 2.

t₂ = (-3 - D) / (2 * (-1)) = (-3 - 22) / (-2) = 1.5 + 2.

sin² 2x = 1.5 - 2 и sin² 2x = 1.5 + 2.

sin 2x = (1.5 - 2)^1/2  и  sin 2x = (1.5 + 2.)^1/2.

X₁ = 0.5 * arcsin (1.5 - 2)^1/2 и  X₂ = 0.5 * arcsin (1.5 + 2)^1/2.

Ответ: x₁ = *N/4, x₂ = 0.5 * arcsin (1.5 - 2)^1/2  и  x₃ = 0.5 * arcsin (1.5 + 2)^1/2.