Какая заключительная цифра суммы 1+2012+2012"(в квадрате)+2012(в кубе)...+2012(в 2011 ступени)

   1. Последняя цифра суммы зависит только от последних цифр слагаемых, поэтому достаточно отыскать заключительную цифру суммы чисел:

      r = 1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^2011.

   2. Составим сопоставления по модулю 10 для ступеней двойки:

• 2^1 2 (mod 10);
• 2^2 4 (mod 10);
• 2^3 -2 (mod 10);
• 2^4 -4 (mod 10);

• 2^5 2 (mod 10);
• 2^6 4 (mod 10);
• 2^7 -2 (mod 10);
• 2^8 -4 (mod 10).

   3. Как лицезреем, остатки повторяются через 4 степени, значит:

• r = 1 + (2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4) + ... + (2^2005 + 2^2006 + 2^2007 + 2^2008) + 2^2009 + 2^2010 + 2^2011;
• r = 1 + (2 + 4 - 2 + 4) + ... + (2 + 4 - 2 + 4) + (2 + 4 - 2);
• r = 1 + 0 + ... + 0 + 4 = 5.

   Ответ: 5.