Дана функция y=lntgx. Найдите её производную при x=п/12

1. Дана трудная функция, в составе которой имеются логарифмическая функция и тангенс функция. Для того, чтоб отыскать производную функции y = ln(tgx) применим следующую табличную информацию: (lnu) = u / u и (tgх) = 1 / cos²х.
2. Имеем y = (ln(tgx)) = (tgх) / tgx = (1 / cos²х) / tgx = 1 / (cos²х * tgx).
3. Дальше воспользуемся последующими 2-мя формулами: tg = sin / cos и sin(2 * ) = 2 * sin * cos (синус двойного угла). Имеем: y = 1 / (cos²х * sinх / cosх) = 1 / (sinх * cosх) = 2 / (2 * sinх * cosх) = 2 / sin(2 * х). Итак, отыскали производную y = 2 / sin(2 * х).
4. Сейчас найдём значение производной при x = /12. Вычислим: y(/12) = 2 / sin(2 * /12) = 2 / sin(/6). Сообразно таблице главных значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, имеем: sin(/6) = . Как следует, y(/12) = 2 / () = 4.

Ответ: 4.