sinx+cosx=m.Найти максимальое значение m

Функция y(x) = sin x + cos x определена на всем участке (-; +). Найдем ее производную:

y(x) = (sin x + cos x) = (sin x) + (cos x) = cos x + (-sin x) = cos x - sin x.

Производная одинакова нулю при cos x - sin x = 0, то есть при cos x = sin x, что равносильно:

sin x / cos x = 1 и tg x = 1.

tg x = 1 при x = пи/4 + пи * n, где n - целое.

На участке x = пи/4 + пи * n + a, где a  0:

cos (пи/4 + a) lt; cos пи/4, а sin (пи/4 + a) gt; sin пи/4, а т.к. sin пи/4 = cos пи/4, то:

cos x - sin x lt; 0.

Как следует, точна x = пи/4 является точкой максимума.

y(пи/4) = sin пи/4 + cos пи/4 = 0,52 + 0,52 = 2. Следовательно m = 2.

Ответ: 2.