Отыскать неопределенный интеграл 1)(x^3)/(1+x^8)dx 2)(x-3)/(x^2+6x+7)dx 3)Arcsinxdx

1) Осмотрим неопределенный интеграл (x / (1 + x⁸)dx, которого обозначим через А и перепишем в виде А = (1 / (1 + x⁸)) * xdx. Выражение x подведем под знак дифференциала, то есть: xdx = * dx⁴. Заменим переменную: у = x⁴. Тогда, имеем: x⁸ = (x⁴) = у, xdx = * dу. Как следует, данный интеграл можно представить последующим образом. А = ( * 1 / (1 + у))dу. Получили табличный интеграл. Формула (1 / (1 + x))dx = arctgx + C и оборотная подмена дозволит конечно вычислить: А = * arctgy + С = * arctg(x⁴) + С.

2) Рассмотрим неопределенный интеграл ((x - 3) / (x + 6 * x + 7))dx, которого обозначим через А. Раскладываем рациональную дробь (x - 3) / (x + 6 * x + 7) на простейшие дроби и вычислим: А = * (2 * х 6) / (x + 6 * x + 7))dx = * (1 / (x + 6 * x + 7))d(x + 6 * x + 7) 6 * (1 / (x + 6 * x + 7))dx. 1-ый интеграл оказался табличным интегралом, а для вычисления второго представим квадратный трёхчлен x + 6 * x + 7 представим в виде (х + 3) - 2. Тогда, получим 1 / (x + 6 * x + 7) = 1 / ((х + 3) - 2) = 1 / ((х + 3 - (2)) * (х + 3 + (2))) = (1 / 2(2)) * (1 / (х + 3 - (2)) - 1 / (х + 3 + (2))). Итак, А = * (1 / (x + 6 * x + 7))d(x + 6 * x + 7) 6 * (1 / 2(2)) * ((1 / (х + 3 - (2))dx - (1 / (х + 3 + (2))dx) = * ln(x + 6 * x + 7) 1,5(2) * (lnх + 3 - (2) - lnх + 3 + (2)) + C = * ln(x + 6 * x + 7)  - 1,5(2) * ln(х + 3 - (2)) /( х + 3 + (2)) + C.

3) Осмотрим неопределенный интеграл arcsinxdx, которого обозначим через А. Используем интегрирование по частям: udv = u * v vdu, где u = arcsinx и dv = dx. Тогда, du = (1 / (1 - x))dx и v = x. Имеем: А = х * arcsinx - (х / (1 - x))dx. Для того, чтобы отыскать полученный интеграл, введём подмену переменной t = 1 - x. Тогда dt = -2 * xdx, как следует, xdx = (-1/2)dt. Итак, (х / (1 - x))dx = (-1/2) * t^-1/2dt = (-1/2) * t^{-1/2 + 1} / (-1/2 + 1) + C = -(t) + C. Создадим оборотную замену переменной: А = х * arcsinx (-(1 - x)) + C = х * arcsinx + (1 - x) + C.