5 (x+y)+4xy=32 xy (x+y)=12 Решить способом подмены переменных

5(x + y) + 4xy = 32; xy(x + y) = 12.

Пусть х + у = а, ху = в.

Выходит система уравнений: 5а + 4в = 32; ав = 12.

Выразим в из второго уравнения и подставим во 2-ое:

в = 12/а; 5а + 4 * 12/а = 32.

5а + 48/а = 32. Умножаем все уравнение на а (а не равно 0).

5а + 48 = 32а.

5а - 32а + 48 = 0.

Решаем квадратное уравнение с подмогою дискриминанта:

D = (-32) - 4 * 4 * 48 = 1024 - 960 = 64 (D = 8);

а₁ = (32 - 8)/(2 * 5) = 24/10 = 2,4.

а₂ = (32 + 8)/10 = 40/10 = 4.

Отсюда в₁ = 12/2,4 = 5.

И в₂ = 12/4 = 3.

Вернемся к подмене, получаются две системы уравнений:

(а) х + у = 2.4, ху = 5.

(б) х + у = 4, ху = 3.

Решаем каждую систему раздельно.

а) х + у = 2,4, ху = 5.

Выразим у из первого уравнения и подставим во 2-ое:

у = 2,4 - х; х(2,4 - х) = 5.

2,4х - х = 5.

х - 2,4х + 5 = 0.

D = 2,4 - 4 * 1 * 5 = 5,76 - 20 = -14,24 (D lt; 0, нет корней).

б) х + у = 4, ху = 3.

Выразим у из первого уравнения и подставим во 2-ое:

у = 4 - х; х(4 - х) = 3.

4х - х = 3.

х - 4х + 3 = 0.

D = (-4) - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4 (D = 2);

х₁ = (4 - 2)/2 = 2/2 = 1.

х₂ = (4 + 2)/2 = 6/2 = 3.

Отсюда у₁ = 4 - 1 = 3.

И у₂ = 4 - 3 = 1.

Ответ: (1; 3) и (3; 1).