1. Чему равен остаток от разделения числа 7+69+671+6673+66675 на 6? 2.

Пусть x mod y - операция взятия остатка от дробления х на у. К примеру - 17 mod 6 = 5.

1. Чтоб посчитать остаток от суммы, довольно сложить отдельные остатки, и снова отыскать остаток:
(7 + 69 + 671 + 6673 + 66675) mod 6 =
= ((7 mod 6) + (69 mod 6) + (671 mod 6) + (6673 mod 6) + (66675 mod 6)) mod 6 =
(1 + 3 + 5 + 1 + 3) mod 6 = 13 mod 6 = 1
Ответ: Остаток от дробления на 6 равен 1.

2. Для нахождения заключительной цифры творенья можно перемножать и ложить только последние числа:
((15 * 25 * 37 * 43) + (34 * 48 * 77)) mod 10 = ((5 * 5 * 7 * 3) + (4 * 8 * 7)) mod 10 =
=(5 + 4) mod 10 = 9
Ответ: Последняя цифра суммы - 9.

3. Остаток от творения равен произведению остатков, как следует:
(m * n) mod 7 = ((m mod 7) * (n mod 7)) mod 7 = (5 * 6) mod 7 = 30 mod 7 = 2
Ответ: Остаток при делении на 7 равен 2.

4. Осмотрим остатки от разделения на 7 у первых ступеней тройки:
3¹ mod 7 = 3
3² mod 7 = 2
3³ mod 7 = 6
3⁴ mod 7 = 4
3⁵ mod 7 = 5
3⁶ mod 7 = 1
3⁷ mod 7 = 3
Как мы можем увидеть, каждые 6 ступеней остаток от деления на 7 повторяется. Тогда, найдем остаток от дробления ступени тройки на длину цикла:
20 mod 6 = 2
Означает, 3²⁰ = 3² = 2
Ответ: Остаток от деления 3²⁰ на 7 равно 2.

5. ((7 * 8 * 1 * 5) - (4 * 2 * 7)) mod 10 = (0 - 6) mod 10.
Так как 1-ое число больше второго, то можем 0 поменять на (0 + 10), тогда
(10 - 6) mod 10 = 4
Ответ: Последняя цифра разности - 4.

6. ((6 * 8 * 9) + (2 * 3 * 8)) mod 10 = (2 + 8) mod 10 = 0
Ответ: Сумма кончается на 0.

7. Пусть первое число - х, 2-ое число - y.
Составим систему уравнений:
x - y = 24
x = 4y + 3
Подставим x из второго равенства в 1-ое:
4y + 3 - y = 24
3y = 21
y = 7
x = 4 * 7 + 3 = 31
x + y = 31 + 7 = 38
Ответ: Сумма чисел одинакова 38.

8. Для нахождения остатка при дробленьи на 25 будет довольно рассмотреть последние 2 числа числа, так как 25 * 4 = 100, а означает хоть какое количество сотен делится на 25 без остатка.
35 mod 25 = 10
Ответ: Остаток при дроблении на 25 равен 10.

9. Обозначим первое число за х, 2-ое - за у. Тогда:
x + y = 64
x = 3y + 4
Подставим х из второго в 1-ое уравнение:
3y + 4 + y = 64
4y = 60
y = 15
x = 3 * 15 + 4 = 49
Ответ: Большее число одинаково 49.

10. Для нахождения остатков при разделении на 2, 5 и 10 довольно проверить только последнюю цифру числа:
4 mod 2 = 0
4 mod 5 = 4
4 mod 10 = 4
Для 4 и 25 возьмём заключительные две цифры:
54 mod 4 = 2
54 mod 25 = 4
Для нахождения остатка при разделеньи на 9, надобно найти сумму всех цифр в числе, и отыскать остаток теснее от этой суммы:
(3 + 6 + 4 + 5 + 5 + 4 + 7 + 8 + 3 + 5 + 4) mod 9 = 54 mod 9 = 0
Осталось только сложить все ответы:
0 + 4 + 4 + 2 + 4 + 0 = 14
Ответ: Сумма остатков одинакова 14.