Решить систем уравнений : log2X+log2Y=2 x-4y=15

log ₂ х + log ₂ y = 2;

x - 4y = 15;

1. Преобразуем 1-ое уравнение, чтобы убрать логарифм:

log ₂ х + log ₂ y = 2;

2. Найдем ОДЗ:

x gt; 0;

y gt; 0;

3. Основания логарифмов одинаковы, потому воспользуемся свойством творенья логарифма:

log ₂ хy = 2;

4. Преобразуем числовой коэффициент справа в логарифм:

2 = 2log ₂ 2 = log ₂ 2;

log ₂ хy = log ₂ 2;

5. Из равенства основания логарифмов следует:

хy = 2;

хy = 4;

6. Получим равносильную систему уравнений:

хy = 4;

x - 4y = 15;

7. Решим ее способом подстановки. Выразим х из второго уравнения и подставим в первое:

х = 15 + 4у;

(15 + 4у)у = 4;

4у + 15y - 4 = 0;

8. Найдем корни, решив квадратное уравнение:

Вычислим  дискриминант:

D = b - 4ac = 15 - 4 * 4 * ( - 4) = 225 + 64= 289;

D 0, означает:

у1 = ( - b - D) / 2a = ( - 15 - 289) / 2 * 4 = ( - 15 - 17) / 8 = - 32 / 8  = - 4, не подходит по ОДЗ;

у2 = ( - b + D) / 2a = ( - 15 + 289) / 2 * 4 = ( - 15 + 17) / 8 = 2 / 8  = 1/4;

Тогда:

если у = 1/4, то х = 15 + 4 * 1/4 = 15 + 1 = 16;

Ответ: у = 1/4, х = 16.