Вычислить площадь треугольника с верхушками А(1;3;6) В(2;2;1) С(-1;0;1)

   1. Найдем сторону AB:

• А(1; 3; 6);
• В(2; 2; 1);
• С(-1; 0; 1);

• AB = ((2 - 1)^2 + (2 - 3)^2 + (1 - 6)^2) = (1 + 1 + 25) = 27.

   2. Найдем высоту CH:

   1) Уравнение AB:

• (x - xB)/(xA - xB) = (y - yB)/(yA - yB) = (z - zB)/(zA - zB);
• (x - 2)/(1 - 2) = (y - 2)/(3 - 2) = (z - 1)/(6 - 1);
• -(x - 2) = (y - 2) = (z - 1)/5, отсюда:

• -x + 2 = y - 2;
• x = 4 - y; (1)

• z = 5(y - 2) + 1;
• z = 5y - 9. (2)

   2) Расстояние от точки С(-1; 0; 1) до точки M(x, y, z), лежащей на прямой AB:

• CM^2 = (x + 1)^2 + y^2 + (z - 1)^2;
• CM^2 = (4 - y + 1)^2 + y^2 + (5y - 9 - 1)^2;
• CM^2 = (y - 5)^2 + y^2 + (5y - 10)^2;
• CM^2 = y^2 - 10y + 25 + y^2 + 25y^2 - 100y + 100;
• CM^2 = 27y^2 - 110y + 125;

• D = 110^2 - 4 * 27 * 125 = 12100 - 13500 = -1400.

   3) Высота CH равна наименьшему значению CM:

• CH^2 = -D/4a = 1400/(4 * 27);
• CH = (1400/(4 * 27)) = 514/27.

   3. Площадь треугольника:

• S = 1/2 * AB * CH;
• S = 1/2 * 27 * 514/27 = 2,514.

   Ответ: 2,514.