В треугольнике из одной вершины проведены вышина биссектриса и медиана. расстояния

Рассмотрим треугольник АВС и пусть BH - высота, BN - биссектриса, 

BM - медиана.

По условию задачки известно, что:

AH = 21, AN = 25, AM = 25,5.

Заметим, что так как BM - медиана, то AM = CM = 25,5.

Как следует, АС = АM + CM = 51.

Так как N - основание биссектрисы, то по свойству биссектрисы имеем:

AB / AN = BC / CN,

AB / 25 = BC / 26, BC = 26/25 * AB.

По аксиоме косинусов имеем:

BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(A).

Заметим, что AB * cos(A) = AH = 21. Как следует:

(26/25)^2 * АВ^2 = АВ^2 + 51^2 - 2 * 51 * 21,

51/25^2 * AB^2 = 51 * 9,

AB^2 = 25^2 * 9,

AB = 75.

BC = 26/25 * AB = 78.

Как следует, периметр

P = AB + BC + AC = 75 + 78 + 51 = 204.

Ответ: 204 см.