Решите неравенство. (Log 0,5 x)^2 - 3log 0,5 x - 4

Заменим t= log _0,5 x и решим:

(log _0,5 x)^2 - 3log _0,5 x - 4 gt;= 0;

t^2 - 3t - 4 = 0;

Определим  дискриминант квадратного уравнения:

D = ( - 3)^2 - 4 * 1 * ( - 4) = 9 + 16 = 25;

t1 = ( 3 - 25) / 2 * 1 = ( 3 - 5) / 2 = -  2 / 2  = - 1;

t2 = ( 3 + 25) / 2 * 1 = ( 3 + 5) / 2 = 8 / 2  = 4;

+        -        +

---(- 1)---(4)---

t ( - ; - 1]  [4; + );

Получим совокупность неравенств:

t lt;=- 1;

t gt;= 4;

Найдем х:

log _0,5 x lt;= - 1;

log _0,5 x gt;= 4;

4 = log _0,5 0,5 ⁴;

- 1 = log _0,5 0,5 ^{- 1}= log _0,5 2;

log _0,5 x lt;= log _0,5 2;

log _0,5 x gt;= log _0,5 0,5⁴;

Основание логарифма меньше 1, потому заменим неравенства на равносильные:

x gt;=  2;

x lt;= 0,5 ⁴;

Интервал x ( - ; 0,5⁴]  [2; + );

Ответ: интервал x ( - ; 0,5⁴]  [2; + ).