1. Радиус цилиндра 5 см, но его осевое сечение диагонали 20

Осевым сечением цилиндра есть прямоугольник, так как цилиндр и интеллигентен вращением прямоугольника вокруг собственной стороны. Для удобства обозначим его АВСД.

Длина ВС одинакова двум радиусам:

ВС = r 2;

ВС = 5 2 = 10 см.

Треугольник АВС есть прямоугольным, потому, применим теорему Пифагора:

АС² = АВ² + ВС²;

АВ² = АС² ВС²;

АВ² = 20² 10² = 400 100 = 300;

АВ = 300 = 17,32 см.

Ответ: вышина цилиндра равна 17,32 см.

2.

Так как радиус большего основания (АК) и образующая (АВ) образуют угол 30, то с подмогою теоремы синусов можно найти высоту (ОК = BN):

Sin = h l;

h = Sin l;

Sin 30 = = 0,5;

BN = OK = 6 = 3 см.

Сейчас, применяя аксиому Пифагора, найдем длину отрезка AN:

АВ² = ВN² + AN²;

AN² = АВ² - ВN²;

AN² = 6² 3² = 36 9 = 25;

AN = 25 = 5 см.

Так как радиусы оснований относятся как 4:7, то выразим:

4х радиус наименьшего основания ВО;

7х радиус большего основания АК.

Так как отрезок AN = 5 см, то:

7х 4х = 5;

3х = 5;

х = 5/3;

ВО = 5/3 4 = 20/3 = 6,67 см;

АК = 5/3 7 = 35/3 = 11,7 см.

Найдем площадь поверхности:

S = (r₁ + r₂)l;

S = 3,14 (6,67 + 11,7) 6 = 3,14 18,3 6 = 345,4 см².

Найдем объем усеченного конуса:

V = 1/3 h (r₁² + r₁ r₂ + r₂²);

V = 1/3 3 (6,67² + 6,67 11,7 + 11,7²) = (44,49 + 6,67 11,7 + 136,89) =  3,14 (44,49 + 78,04 +136,89) = 3,14 259,42 = 814,58 см³.

Ответ: площадь поверхности одинакова 345,4 см², объем равен 814,58 см³.