Вычислите предел, используя правило Лопиталя. lim tgx-x/sinx-x^2 x-amp;gt;0

1. В задании нужно вычислить значение предела дробной функции (tgx x) / (sinx - x) при х 0. При вычислении предела требуется использовать правило Лопиталя. По требованию задания вычислим значение данного предела (если, окончательно, таковое существует).
2. Как известно, сущность верховодил Лопиталя состоит в том, что в случае, когда вычисление предела отношений 2-ух нескончаемо малых или безгранично великих функций даёт неопределённости вида 0/0 либо /, предел дела 2-ух функций можно поменять пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённый итог. В нашем случае, предел числителя tgx x при х 0 равен tg0 0 = 0 0 = 0, аналогично, предел знаменателя sinx - x при х 0 также равен sin0 - 0 = 0 0 = 0. Тем самым имеем дело с неопределённостью вида 0/0.
3. Применим управляло Лопиталя. С этой целью, вычислим производные числителя и знаменателя данной дробной функции. Для числителя, используя формулу 1 + tg² = 1 / cos² , получим (tgx x) = (tgx) - х = 1 / cos²х 1 = 1 + tg²х 1 = tg²х. Производная знаменателя равна (sinx - x) = (sinx) - (x) = cosx 2 * x.
4. Заметим, что предел tg²х при х 0, равен tg²0 = 0 = 0, а предел cosx 2 * x при х 0, равен cos0 2 * 0 = 1 0 = 1. Как следует, предела (tgx x) / (sinx - x) при х 0, равен 0/1 = 0.

Ответ: 0.