3^(2x+1)+3^(x-1)amp;lt;28 показательное неравенство

3 ^{2 x + 1} + 3 ^{x - 1} lt; 28.

Преобразуем неравенство:

3 ^{2 (x - 1) + 3} + 3 ^{x - 1} lt; 28;

27 *3 ^{2 (x - 1)} + 3 ^{x - 1} lt; 28.

Введём обозначение:

y = 3 ^{x - 1}.

Получим неравенство:

27 y ² + y - 28 lt; 0.

Разложим левую часть неравенства на линейные множители.

Для этого найдём корешки квадратного уравнения:

y = (- 1 (1 + 3024)) / 54 = (- 1 55) / 54;

y₁ = 1;

y₂ = - 56/54 = - 28/27.

Получим неравенство:

27 y ² + y - 28 = 27 (y - 1) (y + 28/27) lt; 0.

Так как 2-ой множитель:

 y + 28/27 =  3 ^{x - 1}+ 28/27 gt; 0,

то первый множитель обязан быть отрицателен:

y - 1 = 3 ^{x - 1} - 1 lt; 0;

3 ^{x - 1} lt; 1.

Показательная функция, с основанием больше единицы, меньше единицы только когда её показатель меньше единицы:

x - 1 lt; 1;

x lt; 2.