1. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 12. Постройте сечение куба плоскостью

1. Построим сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью AD₁C. Так как все точки лежат попарно на одних гранях, то сечение строится методом обычного соединения точек меж собой. Тем самым получили сечение AD₁C, которое представляет из себя равносторонний треугольник (т.к. все грани куба схожи меж собой и представляют собой квадраты, а отрезки AD₁, AC и CD₁ являются диагоналями этих схожих квадратов).

2. Беря во внимание, что N принадлежит ребру AD и является его серединой (AN = ND), строим сечение куба новейшей плоскостью, параллельной AD₁C. Для этого на ребрах куба DD₁ и CD отметим середины, например, точками M и L. Соединим эти точки между собой и получим сечение MNL, параллельное построенному в первом пт сечению AD₁C. (Обосновать их параллельность можно просто через соответствующые углы MND и D₁AD. Они являются углами в прямоугольных равнобедренных треугольниках MND и D₁AD соответственно, и равны 45 градусов).

3. Вычислим площадь получившегося сечения. Для этого рассмотрим треугольник NDL. Нам знаменито, что точки N и L являются серединами ребер куба. Как следует, их длина составляет ND = DL = 6. Треугольник NDL является прямоугольным, т.к. угол ADC = NDL является также углом нижней грани куба. Следовательно, можем пользоваться аксиомой Пифагора для треугольника NDL. Найдем его гипотенузу NL: NL = (ND² + DL²)=(6² + 6²) = 62. Перебегаем к расчету площади сечения NML. Сечение MNL представляет собой равносторонний треугольник со гранями, одинаковыми 62. Знаменита формула для расчета площади равностороннего треугольника: S = (a² * 3) / 4, где а - сторона треугольника. Считаем: S = ((62)² * 3) / 4 = 183. Ответ: площадь сечения 183 (кв.ед).

Изображение: https://bit.ly/2DHx2Bb .