Решить логарифмическое неравенство. log5(x+2)*log5(x+2)-2+log1/5(x+2)amp;lt;0

1. Найдем ОДЗ:

log ₅ (x + 2) * log ₅ (x + 2) - 2 + log _1/5 (x + 2) lt; 0;

x + 2 gt; 0;

x gt; - 2;

1. Воспользуемся свойство логарифма и приведем к общему основанию:

log ₅ (x + 2) * log ₅ (x + 2) - 2 + log _{5^( - 1)} (x + 2) lt; 0;

log ₅ (x + 2) * log ₅ (x + 2) - 2 - log ₅ (x + 2) lt; 0;

1. Выполним замену у = log ₅(x + 2), и решим квадратное уравнение:

у - y - 2 = 0;

Вычислим  дискриминант:

D = b - 4ac = ( - 1) - 4 * 1 * ( - 2) = 1 + 8 = 9;

D 0, означает квадратное уравнение имеет два корня:

y1 = ( - b - D) / 2a = ( 1 - 9) / 2 * 1 = ( 1 - 3) / 2 = -  2 / 2  = - 1;

y2 = ( - b + D) / 2a = ( 1 + 9) / 2 * 1 = ( 1 + 3) / 2 = 4 / 2  = 2;

1. Применим способ промежутков:

+        -        +

---(- 1)---(2)---

y ( - 1; 4);

1. Составим двойное неравенство:

- 1 lt; y lt;2;

1. Подставим нашу переменную вспять:

у = log ₅ (x + 2);

- 1 lt; log ₅ (x + 2) lt; 2;

1. Преобразуем числовой коэффициент справа и слева в логарифм:

2 =  2log ₅ 5 = log ₅ 5 ²;

- 1= - 1 * log ₅ 5 ^{( - 1)};

log ₅ 5 ^{( - 1)} lt; log ₅ (x + 2) lt; log ₅ 5 ²;

1. Заметим, что основания логарифмов 0 lt; 5 lt; 1. Из равенства основания логарифмов следует:

5 ^{( - 1)} lt;  (x + 2) lt;  5 ²;

1/5 lt;  (x + 2) lt;  25;

1/5 - 2 lt;  x lt;  25 - 2;

- 1 4/5 lt;  x lt;  23;

1. Учтем ОДЗ систему уравнений:

x gt; - 2;

- 1 4/5 lt;  x lt;  23;

Как следует:

                   ///////////////////

---(- 2)---(- 1 4/5)---(23)---

     \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

x ( - 1 4/5; 23);

Ответ: x ( - 1 4/5; 23);.