1) Вычислите: 2cos15 sin15 2) Обосновать тождество: ctgx-tgx=2ctg2x 3) Найти:

Пусть Т = 2 * cos15 * sin15. Воспользуемся формулой sin(2 * ) = 2 * sin * cos (синус двойного угла). Имеем: Т = sin(2 * 15) = sin30. Так как сообразно таблице основных значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов sin30 = , то Т = .
До этого чем, доказать тождество ctgx tgx = 2 * ctg(2 * x), представим, что рассматриваются такие х, для которых все выражения, участвующие в равенстве, имеют смысл. Воспользуемся формулами tg = sin / cos, ctg = cos / sin, cos(2 * ) = cos² sin² (косинус двойного угла) и sin(2 * ) = 2 * sin * cos (синус двойного угла). Тогда, имеем: ctgx tgx = cosх / sinх sinх / cosх = (cosх * cosх sinх * sinх) / (sinх * cosх) = 2 * (cos²х sin²х) / (2 * sinх * cosх) = 2 * cos(2 * х) / sin(2 * х) = 2 * ctg(2 * x). Что и требовалось обосновать.
Для того, чтобы отыскать значение выражения cos(/8), воспользуемся формулой cos = ((1 + cos(2 * )) / 2) и табличным значением cos(/4) = (2) / 2. Имеем: cos(/8) = ((1 + cos(2 * /8)) / 2) = ((1 + cos(/4)) / 2) = ((1 + (2) / 2) / 2) = (2 + (2)) / 2.