3tg(pi*x)+5ctg(pi*x)+8=0

Домножим уравнение на tg(x):

3tg^2(x) + 5ctg(x) * tg(x) + 8 * tg(x) = 0;

3tg^2(x) + 8tg(x)  + 5= 0.

Произведем подмену переменных t = tg(x):

3t^2 + 8t + 5 = 0;

t12 = (-8 +- (64 - 4 * 3 * 5)) / 2 * 3 = (-8 +- 2) / 6;

t1 = (-8 - 2) / 6 = -5/3; t2 = -1.

Производим оборотную замену:

tg(x) = -5/3;

x  = arctg(-5/3) +-  * n, где n естественное число;

x = 1/ * arctg(-5/3) +- n.

tg(x) = atrctg(-1) +-  * n;

x = 5/4 +-  * n; 

x = 5/4 +- n.

Ответ: x принадлежит 1/ * arctg(-5/3) +- n; 5/4 +- n.