1)Найдите общий вид первообразных для функции: 2) Вычислите интегралы 3) Найдите

1) a) Если F(x) первообразная для f(x), то F(x) = f(x). Что бы отыскать общий вид первообразных для функции: f(x) = 1 /sin²x найдем его неопределенный интеграл:

F(x) = dx /sin²x = -3ctgx/3 1/2x² + C.

b) f(x) = 1 + cosx/4 F(x) = (1 + cosx/4)dx = x + 4sinx/4 + C.

2) Вычислим определенные интегралы:

a) (0; 1)dx/(2x +1)³ = (0; 1)1/2d(2x + 1)/(2x +1)³ = 1/2(-1/(2((2x + 1)₀¹  =

= -1/(4(2 * 1 + 1)² + 1/(4(2 * 0 + 1)² = - 1/36 = (9 - 1)/36 = 2/9;

b) (0; /8)(1 2sin²2x)dx) = (0; /8)cos(4x)dx) = (0; /8)1/4sin(4x) ) =

= 1/4 * (sin(4 * /8) - sin(4 * 0) = 0,25 * (1 0) = 0,25.

3) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями: y = -x² - 4, y = x + 4.

Для начала найдем точки скрещения графиков решив уравнение:

-x² - 4 = x + 4 x² + x + 8 = 0; D = 1 4 * 1 * 8 lt;0. Это означать графики функций не пересекаются, никакой фигуры нет, и природно вычислять площадь не имеет смысла.

4) Вычислим иррациональное выражение, используя характеристики  ступеней:

³-22 + ⁶2 * ³2 = ³-(2)³ + ⁶2 * ⁶(2)² = ³-(2)³ + ⁶2 * ⁶(2)² = -(2) + ⁶2 * 2² =

= -(2) + ⁶2 * 2² =  -(2) + ⁶2³ =  -(2) + 2 = 0.